MATHAZINE

La revue de

l’institut de Mathologie- Pierre Gallais

C’est pas le tout d’démontrer, faut emballer.

mais

 Le plus difficile c’est pas d’emballer, c’est  d’démontrer !

Dans notre contexte emballer et habiller sont  synonymes. Pour le mathématicien il s’agit, considérant une surface nue, de la recouvrir d’un double champ de vecteurs unitaires, c’est à dire de réussir à définir en chaque point deux vecteurs unitaires tangents à la dite surface et de direction différente. Les lignes de champ de chacun de ces vecteurs définissent un réseau de lignes qui se croisent, à la manière d’un tissu. Bien évidemment une fois cette chose faite… liberté lui est laissée de la déshabiller… mais c’est une autre affaire. Encore faut-il qu’il ait bien compris comment il l’avait habillée s’il ne veut pas tout déchirer ou bien s’emmêler dans le filet qu’il aura tendu.

Champ de vecteurs unitaires se traduit par : les fils qui constituent le filet ne sont pas élastiques…. ce n’est pas du lathex !  Tangent à la surface veut dire que le tissu colle à la peau… c’est un moulant.

Emballer ou habiller une surface basique ou seinpathique est un horizon bien lointain… même si nous pouvons vous affirmer que ceci est localement possible. L’objectif est de réussir à le faire avec le moins de morceaux possible, … D’un seul morceau ? Est-ce possible ? Il faudrait le démontrer !

Dans un premier temps nous vous exposerons deux procédures qui permettent d’habiller une sphère. Surface simple dont la courbure constante est positive. La première solution est communément rencontrée dans la vie courante, la seconde a été récemment démontrée et exposée par Etienne GHYS. Ensuite nous aborderons le cas de l’ellipsoïde quelconque… une sphère en quelque sorte … même longueur, même largeur, même hauteur ( 1par exemple)  sauf que vous auriez pris ( par exemple ) 1 décimètre pour la longueur, 1 centimètre pour la largeur et 1 millimètre  pour la hauteur. Même équation  …. mais ça change tout… comment s’y prendre pour mesurer … c’est quoi le patron ? Il faut pourtant bien trouver un maître… tailleur ? C’est encore le mètre… mais il nous donne du fil à retordre ! *

Note :

            *Etienne, à qui nous avions posé la question, nous a répondu qu’il n’avait pas encore de solutions pour habiller un ellipsoïde. Bien que le passage de la sphère à l’ellipsoïde semble tout naturel, la courbure non constante de cette surface entraîne de très lourdes complications dans les équations. Par défit personnel nous nous sommes mis en tête d’habiller un galet dont certains se rapprochent de certains ellipsoïdes. Avec notre filet à patates nous avons obtenus ce que vous avez pu observer sur les images de Habillage-bas(S)billage n°2 : un habillage que l’on pourrait nommer trivial. Si en première approximation la chose semble possible…. il faudrait encore le démontrer !