MATHAZINE

La revue de

l’institut de Mathologie- Pierre Gallais

Laissons nous dériver !

au sens courant du terme.

Au sens mathématique faire une dérivation consiste géométriquement à prendre la tangente. Dans le langage courant, prendre la tangente c’est fuir ou éluder la question. Pour sauver sa peau, en cas de catastrophe parfois il vaut mieux ne pas jouer les braves…  prendre la tangente, voire prendre les jambes à son cou ! On évite la tuile.

Il n’y a pas urgence à emballer les billes, bien que la démonstration fournie par Etienne Ghys  – soumise au contrôle d’une commission avant publication –  vienne d’être acceptée.

L’image ci-dessus n’est pas sans rapport avec la proposition d’Etienne qui prolonge l’habillage de la sphère et le conduisit, en corollaire, à produire une surface nouvelle de courbure négative et que nous nommâmes TORTICOLLI.

Laissons nous dériver… sans fuir la question et filer à l’anglaise.

Dans le numéro précédent nous avons caressé l’idée d’une bijection entre ellipse et ellipsoïde.

Bijection ???  « Une place pour chaque chose et chaque chose à sa place« , telle était la leçon que nous rabâchaient nos maîtres et nos parents, histoire de nous rappeler à l’ordre !

Nous nous souvenons d’avoir longtemps médité enfant devant une étagère (un casier plutôt branli-branla) où notre père stockait les pièces à l’atelier.

Nous développerons dans les prochains numéros. Pour l’instant observons l’image ci-dessus.

Il y a un lien entre la sphère-ellipsoïde du numéro précédent, l’étagère évoquée, cette image, nos préoccupations d’emballer les billes et la production de Torticolli*.

Une charpente est un réseau de lignes (droites) se croisant à angle droit en général. A chaque intersection se trouve une liaison (un clou ou deux par exemple) qui laisse cependant un degré de liberté.

Dans la partie droite de l’image nous voyons que la charpente est encore demeurée plane : les deux séries de droites sont demeurées parallèles.

Dans la partie gauche nous remarquons que les poutres et le liteaux  ne sont plus parallèles alors que les chevrons leur sont toujours liés. Nous n’avons plus un plan. Bien que cette image ne soit qu’une approximation, nous percevons que la charpente prend ici l’allure d’une surface courbe. Mathématiquement nous savons que ces deux réseaux de droites appartiennent à la surface nommée paraboloïde hyperbolique… une surface de courbure négative. C’est une surface réglée suivant deux directions. On peut donc produire avec un « plan »** de courbure nulle une surface de courbure négative. Il y a encore bijection mais plus isométrie. Si toutes les tuiles auraient encore pu rester sur la partie de droite, sur la partie de gauche il en aurait manqué et vous auriez eu un trou ou une déchirure .

Ceci nous conduit à prendre conscience d’une notion mystérieuse : la mesure.

Méditer devant des étagères branlantes nous a permis de saisir cette image peu fréquente, nous imaginons, d’une catastrophe qui rapproche le plan du paraboloïde hyperbolique. C’était il y a bien vingt ans, nous retournions en Bretagne, le chemin était long… si cette catastrophe fut une tuile pour le propriétaire, ce fut pour nous une aubaine. Nous profitâmes pour faire une pause.

Note :

            *    toute dérive qui conduirait à penser « qu’emballer les filles entraîne le torticoli » n’engage que la responsabilité de ceux qui louchent.

            **  « plan » : il faut lire ici la charpente du plan, c’est à dire le réseau des droites parallèles qui se coupent à angle constant et supportent les tuiles.