une sphère… mais pas de Gallais *
Où il y a de quoi perdre la boule !
Lorsque nous nous sommes arrêtés, tout vous semblait tordu. Si les mathématiciens vous semblent tordus, ils ont pourtant plutôt tendance à tout mettre à plat. Et s’ils prennent la tangente ce n’est pas pour fuir ou filer à l’anglaise, mais pour tenter d’exprimer et régler platement ce qui semble tordu. Tout doit être plat, quitte à mettre des petits plats dans les grands. S’il n’y a qu’un seul plat…( voir la diagonale et l’escalier) ils s’accommodent de Pythagore et leurs éléments différentiels peuvent prendre des dimensions macroscopiques. Lorsque cela devient tordu ou courbé ils prennent des petits plats qu’ils appellent tangentes ou plans tangents et mettent leurs éléments différentiables dans ces petits plats … ( faut pas déconner ! ) Nous ne déco…..s pas, nous décollons seulement très légèrement l’élément différentiable de sa source, puis glissons un petit plat entre lui et la source. L’élément différentiable ne voit rien à redire pourvu qu’il soit bien dans son assiette, … puis s’aplatit. On peut même dire que l’assiette (le plat) est mise en équilibre sur le piquet (cf. notre clôture). Considérant ce petit plat comme un grand et l’élément différentiable comme macroscopique ( puisque tout est plat ( voir quelques phrases plus haut ) ce n’est qu’une question d’échelle : un petit plat vaut un grand pour Pythagore ) nous poursuivons comme si tout était plat. Bien entendu il faudra parfois une infinité ** de plats pour couvrir toute la surface, qu’à cela ne tienne. Ils seraient encore dénombrables (comme les piquets).
Ceci pourrait sembler bien farfelu. Mais poursuivons, il sera toujours temps de contrôler la cohérence. Pour l’instant nous sommes dans la création. Le seul acte de foi que nous avons pu prononcer est qu’en remplaçant le tordu par des petits plats nous arrivions à décrire la réalité.
A ce stade il faudrait entrer dans des calculs valables dans le macroscopique lorsque tout est plat et, par réduction dans le plat, rapporter tout au niveau infinitésimal … puisque dans le plat il n’y a pas de différence entre le macro et le micro. Nous percevons qu’il faudrait développer très longuement pour bien saisir le statut de ces éléments différentiels qui portent le germe de la mesure … au risque de vous ennuyer.
Toutefois et nous en resterons là, retenez :
1 / que lorsque la ligne est parfaitement droite comme dans notre clôture idéale, si les piquets matérialisent des nombres, comme dans ce cas la somme des éléments différentiels respectent la même règle d’addition nous pouvons leur donner le statut de nombres avec une mesure et c’est la mesure que nous additionnons comme les nombres.
2/ que dans l’infiniment petit on remplace le tordu par du plat et que l’on ajuste les formules de Pythagore valables dans le plan, qu’il soit macro ou microscopique.
3/ qu’il est étonnant voire merveilleux que le tordu puisse se réduire à une infinité continue *** de petits plats et que la réalité donne sa bénédiction à l’imagination.
Cette dérive incomplète vous aura permis d’entrevoir, nous espérons, pourquoi nous avons eu plaisir et quelques soucis en abordant les intégrales, puis tout ce qui n’est pas droit. La nature et le statut des éléments différentiables a longtemps fait l’objet de discussions et de controverses dans la communauté des mathématiciens. Finalement ils ont fini par être admis comme des nombres même si la question d’éventuels intermédiaires entre le dénombrable et le continu demeure indécidable. La mesure est un concept ou une création produite par les mathématiciens pour essayer de coller à notre réalité. Mais comme les mathématiciens, une fois les concepts et la formalisation établis, s’échappent dans des univers détachés de la réalité ( les objets ou la nature des objets ne les intéresse pas par opposition au plasticien… voir le numéro 9) ils produisent des mesures … vraiment tordues au yeux de qui est concret. Il arrive que leur dérive retrouve un lien avec la réalité. Le cas de la Relativité restreinte et générale en est un exemple puisque dans le cadre de la relativité la mesure n’est pas celle à laquelle Pythagore nous a habitué. Délire ou réalité ? Pourtant maintenant avec nos GPS et d’autres exemples nous ne pouvons réussir à localiser précisément des points sans tenir compte des phénomènes relativistes.
Notes :
* Cette image est extraite de notre collection personnelle de cartes postales. L’auteur en est Lars Englund – carton d’invitation pour l’exposition au Centre Culturel Suédois – Paris (1999? ou 200?) .
** Un petit clin d’œil du côté de la topologie : parodiant un théorème nous pourrions affirmer que pour une surface compacte, de tout recouvrement de « couverts » nous pouvons extraire un recouvrement fini. Cela permet de réduire la batterie de cuisine ! Attention : les couverts ne sont plus plats et n’ont plus de bord … puisqu’ils sont ouverts. « Somme toute, vos raisonnements seraient creux ? » – » Pas tant que cela. Mais nous éviterons les platitudes et les mesquineries de bas étages. Empruntez l’escalier et refaites le chemin parcouru » – « Quelle cuisine votre mathologie ! » – » Mathaphoriquement, nous vous vous l’accordons … mais ne débordez pas, nous pourrions sortir de nos gonds et … souvenez vous la vengeance est un plat qui se mange froid. Dégustez plutôt tant que c’est chaud ! »
*** Tilt incohérence : Vous dites que vos « petits plats seraient encore dénombrables » et puis ici c’est » une infinité continue « . ! Ceci ne nous a pas échappé. C’est d’ailleurs pour cela que nous avons dit qu’il faudrait longuement développer au risque d’ennuyer.
