TRIVIAL… poursuite
faut, tout de même, suivre !
Ayant utilisé le même filet nous avons le même nombre de mailles pour couvrir le périmètre à l’équateur de nos deux ballons. Si le périmètre augmente il est possible de l’enfermer avec le même nombre de mailles mais celles-ci s’aplatissent. Comme on ne fait pas de miracles vous pouvez observer qu’il faudra un filet plus long pour un ballon plus gros. On démontre par le calcul qu’il y a une valeur optimale pour un maillage (valeur du côté de la maille) donné qui minimise les longueurs de fil utilisé c’est celui dont l’angle au sommet A (au niveau de l’équateur) correspond à 113.74°. Donc un maillage un peu aplati au niveau de l’équateur … si vous voulez faire des économies … De bouts de ficelles diront les mauvaises langues ! *
Dans le schéma ci-dessus nous sommes à plat. Si chacun des côtés (rouges) de notre losange vaut a la mesure ou longueur de la diagonale (verte) vaut d telle que d^2 = 2a^2 – 2a^2 . cos(A) (a^2 pour a au carré) … c’est Pythagore revu et corrigé quand l’angle A ne vaut pas 90° et qui donne le fameux Pythagore car lorsque A vaut 90° le cosinus est nul. Imaginez de fabriquer un deuxième rang avec le même côté a mais en changeant la valeur de A. Si A est plus petit la diagonale verte sera plus courte (voir la table des cosinus si besoin) et si vous voulez joindre les mailles vous allez créer de la courbure. Multipliez les rangs en définissant une loi qui définit l’angle A à chaque rang et vous construirez une surface courbée. Remarquez qu’ainsi, en gardant A constant sur chaque rang, c’est une surface de révolution que vous générez. Passez tout cela au niveau infinitésimal et vous définirez une mesure sur la surface.
Ainsi exprimé vous sentez bien qu’il y a une relation entre la courbure d’une surface et la loi de variation de cet angle A. Avis aux fins bricoleurs aux doigts de fées : Passez dans l’infiniment petit et faites des microsoudures. L’équation différentielle qui régit la variation de A en fonction de a et de la courbure de gauss K de la surface est a . A« (a) + A‘(a) – K .sin(A(a)) = 0 où a est la variable ou longueur du fil utilisé là où vous en êtes dans votre construction en losange, A » et A‘ les dérivées secondes et premières de l’angle A par rapport à a
à suivre.
Notes :
* Ceci nous renvoie à une anecdote qui nous avait frappé en son temps. Pour certains produits il faut faire le vide pour conserver. Par exemple : le lait. Comment faire le vide ? Aspirer l’air dans un récipient donné : cela suppose une dépense d’énergie. Mais on peut imaginer faire le plein et par conséquent ne plus laisser de place pour l’air à vider. C’est il nous semble, sommairement, la solution adoptée par le procédé Tétrabrik : prenez un long tuyau que vous remplissez et toute les unités vous pincez et soudez… plus d’air et pas besoin de faire le vide. Économie de bouts de ficelles qui a fait la fortune de Tétrapak ou Tétrabrik.
