On tient le bon bout !
ça ne fait pas un plis,
ni l’ombre d’un doute. Encore qu’il faille aller jusqu’au bout !
Nous allons devoir abandonner nos dahus pour ne pas tourner en rond. Nous les remercions au passage. Non pas à la manière d’une entreprise qui se déleste d’un personnel devenu inutile. Il ne s’agit pas de licencier ni de mettre à la retraite anticipée. Leur contribution à notre étude nous aura été précieuse … mais à chacun ses limites. Nous les garderons dans notre réserve. Ils nous auront permis de comprendre comment mettre à plat en décônant. Maintenant nous ne pouvons plus décôner. Nous chercherons une manière plus générale de mettre à plat une ligne quelconque tracée sur une surface.
Pour cela nous utiliserons des surfaces développables, c’est à dire des surfaces de courbure nulle qui ont la propriété de pouvoir se « dérouler » en une feuille plane (le cône n’étant qu’un cas particulier de telles surfaces ). On démontre, et nous vous demanderons de l’admettre, qu’il existe plusieurs surfaces développables contenant une ligne tracée sur une surface donnée ( ici notre sphère). Nous en retiendrons trois mais une plus particulièrement * : la surface développable qui est tangente à la surface ( ici la sphère ) le long de la ligne donnée. Cette surface développable a en chacun des points de la ligne même plan tangent que la surface ( ici la sphère ). Si nous ne nous intéressons qu’aux vecteurs tangents à la ligne …. ils se trouvent « imprimés » ainsi que la ligne sur notre surface développable. Quand nous déroulerons notre surface développable …. nous aurons, imprimé et à plat, un transport cohérent de notre ligne et de ses vecteurs tangents. Rien ne se perd, rien ne se crée … tout se transporte ? Comme nous sommes passés d’un monde courbe à un monde plat … faut pas rêver ! Notre transporteur ne nous livrera que ce qui entre dans son cahier des charges et ses compétences. Mais cela sera suffisant pour notre affaire. Ce transport est appelé transport parallèle dans la littérature … spécialisée.
Il faudrait entrer dans des considérations pointues et ennuyeuses pour nombre de lecteurs. Aussi n’évoquerons nous que certains résultats permettant de suivre la progression du propos.
à suivre …
Notes :
* les deux autres nous servirons pour la réalisation et rigidification du réseau de lignes qui constituent l’habillage … sans nous appuyer sur la sphère.
