MATHAZINE
La revue de
l’institut de Mathologie- Pierre Gallais
Rien ne sert de courir
une surface seinpathique n’est pas un champ de course !
autant y aller très mollo.
Considérons une colonie de dahrecteurs placés sur une même ligne droite D et orientés suivant la perpendiculaire à celle-ci. Tous les dahrecteurs se déplaçant à une même vitesse, à intervalles de temps réguliers marquons la position atteinte par chacun. Reliant ces points nous définirons des courbes d’égale distance à la droite D. Observant ces courbes nous nous apercevons que certains points de la surface peuvent être à deux distances différentes de la droite D : une courbe de distance d pouvant couper une courbe de distance d’, d étant différent de d’ .*
Ce qui n’apparaît pas sur cet exemple est que le téton fonctionne comme un attracteur : Selon l’angle suivant lequel le dahrecteur aborde le voisinage de ce point il se peut qu’il se mette à tourner en rond et n’échappe à son attraction qu’après un nombre de tours conséquent alors que le dahrecteur qui aborderait ce voisinage suivant une direction quelque peu différente passerait son chemin sans subir de perturbation considérable ! Pour comprendre le phénomène nous vous invitons à reprendre votre cornet de frites (surface développable où les géodésiques sont des droites quand vous le mettez à plat), à le mettre à plat , à y tracer différentes droites puis à refermer le cône. Le sommet de ce cône constitue un point singulier. Sur le cône la droite fera d’autant plus de tours qu’elle se rapproche d’une courbe de niveau (voir l’image ci-dessous) .
Sur cette image du cône développé (sommet S, base aa’, Sa venant se coller sur Sa’) nous avons tracé le segment de droite 1-5 qui se décompose en 1-2, 2′-3, 3′-4, 4′-5. Nous pouvons constater que ce segment de droite fait 4 fois le tour du cône **. Ceci dit en passant, si vous vous reportez au Mathazine « surfaces seinpathiques n° 9 », vous pourrez constater, au regard de cette image, que notre proposition relative au bas résille est quelque peu erronée. A vouloir trop simplifier, on introduit parfois des erreurs. Nous reviendrons ultérieurement sur le cas du bas résille ***.
Notes :
* Si nous devions envisager une course de dahrecteurs sur une surface seinpathique il ne serait pas aisé de tracer la ligne d’arrivée. De plus, puisqu’en certains points de cette ligne la distance à la ligne d’origine est différente selon la direction suivant laquelle on l’atteint, il se pourrait que deux dahrecteurs l’atteignent simultanément en ayant parcouru des distances différentes ! Il ne serait pas aisé de déterminer le vainqueur en ce cas et ce ne serait pas la photo qui pourrait nous aider à départager.
** Vous pouvez décalquer cette image ou l’imprimer et reformer le cône. Vous pourrez ainsi vérifier (aux imprécisions près) que les segments se prolongent sans cassure. Vous remarquerez également que ce cône est assez piquant.
*** Les pressés qui ne sauraient attendre pourront démontrer ou vérifier que si nous prolongeons la droite qui enroule le cône, elle se croise elle-même en des points qui sont alignés sur deux génératrices symétriques de ce cône (ou bien sur le développement, deux droites dont l’angle au sommetS fait la moitié de l’angle aSa’) .