l’habit ne fait pas le moine ?
quand il faut choisir
entre
Être
ou
ne pas être du tout !
Là n’est plus vraiment … la question !
Cette surface a quatre bras. Ces bras ont une longueur infinie et pour l’habiller il faudrait partir d’un carré de tissu infini ! Concrètement cela serait impossible, et quelle perte ! car très rapidement nous n’en emploierions plus qu’une infime partie. La forme ou le patron du morceau de tissu que nous devrons découper est bordé par deux hyperboles (expression plus simple que pour la sphère). Pour qui connait les hyperboles il est clair que très vite la courbe se rapproche des axes, donc pas besoin d’aller très loin pour en rester à un résultat significatif.
Les bras se tortillent autour des deux fils (chaîne et trame) qui passent par le centre de notre morceau de tissu plat. Lesquels restent des droites, l’habillage réalisé. Ce sont les deux seules droites (et orthogonales) que l’on rencontre sur cette surface.
Imaginons que nous souhaitions réaliser ce Torticolli à la façon de notre sphère : en juxtaposant des plaques de contreplaqué. D’abord nous remarquerions que cette surface, n’étant pas fermée, nous ne pourrions pas tricher comme pour la sphère. En observant notre sphère nous ne pouvons pas savoir si elle est creuse ou pleine. Ici nous observons les deux faces. Donc pour la réaliser il faudrait donner une épaisseur et travailler les deux faces. Cette épaisseur serait-elle constante ? Certainement pas et si l’une des faces avait bien une courbure constante égale à -1, ce ne serait plus le cas pour l’autre. Bien que cela se révèlerait un travail de titan, nous pourrions encore, comme pour la sphère, calculer les courbes sur chaque plaque, celle du dessus et celle du dessous : ceci en prenant une « épaisseur » correspondant à une valeur donnée constante du vecteur normal à la surface externe (où la courbure est constante). Ensuite en collant les lamelles nous aurions une surface en « escalier » comme sur certaines images montrées pour notre sphère. Ensuite il faudrait poncer ! Mais comment poncer ? Plus possible d’employer le plan tangent comme pour la sphère. Théoriquement le plan tangent existe toujours… mais en chaque point il traverse la surface ! A cause de cette courbure négative ! Comme concrètement, notre plan tangent, que ce soit une lime ou une ponceuse à bande, ne peut traverser la surface… donc il faudrait y aller de la lime ronde ! Notez, en passant, que ce serait une manière empirique de sentir les géodésiques de ce Torticolli.
Voilà un peu la raison pour laquelle nous vous avions signalé que c’était vraiment tordu et que cela nous donnerait sans doute le torticoli. La façon la plus simple de la révéler serait donc encore d’en faire l’habit ? Mais là, encore, nous aurons du fil à retordre !
à suivre…
