Ceci n’a pas l’étoffe d’un théorème mais pourrait bien l’étoffer.
Nous préférons rester discret et ne pas tout dévoiler.
Peut-on demeurer discret ?
C’est une question que l’on doit se poser,
avant d’emballer les billes.
L’infini dénombrable demeure discret (au sens mathématique du terme) … Même si vous arriviez à compter sur vos doigts ou bien en alignant des petits bâtons… jusqu’à l’infini, entre chaque nombre il n’y aurait rien. Les nombres ne seraient pas collés les uns aux autres. Lorsque vous sautez dans le continu, soit en prenant une corde en lathex ou bien un fil de fermath non élastique… chaque point est collé à son voisin. Si vous coupiez le fil … (couper n’a pas de sens, disons mathssicoter), comme tout est collé, là où vous coupez de quel côté irait le point où vous coupez ? A gauche ou à droite. Politiquement ce ne serait pas correct et ce serait attribuer au point des intentions qu’il n’a pas. Disons que le point étant neutre il préfèrera vous rester entre les doigts et les deux bouts de gauche et de droite comme une plaie ouverte susceptible de cicatriser *
Pour emballer les billes nous demeurerons discrets pour une part et nous penserons en continu pour une autre part.
Empruntons à nouveau notre escalier.
Chaque marche et contremarche est continue, ainsi que la diagonale sur laquelle elle repose. C’est le nombre de marches qui est discret jusqu’à l’infini. Prenons un point sur une marche (ou contremarche). On peut lui associer le point sur la diagonale qui lui correspond par projection (voir le dessin). Cette correspondance montre qu’à chaque point de marche ou contremarche ne correspond qu’un seul point sur la diagonale et réciproquement. Cette correspondance est une bijection… chaque chose sur la diagonale trouve sa place sur une marche ou contremarche et chaque place sur la marche ou contremarche trouve sa chose sur la diagonale. Des deux côtés nous sommes dans le continu (aucun trou… dans le raisonnement) même si le nombre de marches est discret … et pourtant le chemin est plus long en suivant l’escalier qu’en se laissant glisser sur la diagonale. C’est à ce niveau là que le continu apparaît mystérieux et oblige à considérer une autre notion que l’on appelle la mesure. Deux éléments continus peuvent se correspondre point par point et n’avoir pas la même mesure**. Il existe cependant des correspondances entre certains éléments continus qui respectent point par point la correspondance et la mesure. Nous en faisons quotidiennement l’expérience et l’usage, sinon notre vie serait un enfer. Ce sont les isométries.
Les isométries sont assez contraignantes et la géométrie nous enseigne qu’il n’y a pas d’isométrie entre le plan et la sphère … C’est bien embarrassant lorsqu’on a pour ambition d’habiller une bille, puisqu’il s’agit d’aller couper dans le plan pour recouvrir la bille. Oui ! mais nous n’avons jamais songé à habiller une bille avec une chape de plomb ou une feuille de vigne*** . Nous cherchons à habiller la bille d’un morceau de tissu ( même si celui-ci est métallique) et le tissu c’est un peu comme notre étagère : chaîne et trame … ligne et colonne. Très serré c’est un tissu, assez lâche c’est un filet ou résille.
à suivre…. le chemin est long et les détours nombreux avant de réussir à emballer les billes !… ou comprendre comment le faire. Nous nous excusons auprès de ceux que les maths ne font pas rêver.
Notes :
* Nous vous renvoyons au chapitre de Mathazine relatif aux surfaces basiques et l’origine du monde avec ses cercles vicieux, son mathssicot….
** Revoir la page 95 de Mathazine papier où nous évoquons l’étonnement de Georg Cantor lorsqu’il réussit à montrer une correspondance bijective entre la droite et le plan.
*** La feuille pourrait être de vigne vierge que cela ne changerait rien au problème. L’affaire se situe à un autre niveau.
