un ready-math
un peu raide, mais pas trop !
Vous pouvez observer comment d’un morceau plan (image du haut) de ce tissu métallique nous sommes, sans forcer le trait ni la mesure, passés aux surfaces suivantes.
Dans le numéro précédent vous vous avions signalé qu’en modifiant l’angle A au sommet de chaque maille nous introduisions de la courbure. Dans ce tissu les mailles gardent une valeur constante quant à la longueur des côtés mais l’angle peut varier sans difficulté car les sommets gardent un degré de liberté pour s’articuler. L’opération ou manipulation que nous avons fait subir à ce morceau de tissu est élémentaire et si nous défaisions le nœud qui rassemble ici trois sommets le tissu reprendrait sa forme d’origine. Mais si nous exerçons quelque pression sur la surface nous pouvons la déformer. Nous voyons dans cet exemple qu’il n’y a pas une solution unique et que la surface moulante ici produite peut encaisser ou subir des déformations (non négligeables) sans former de plis.
La loi qui régit l’angle A en fonction de (u,v) (où u représente la position ou valeur sur le fil de chaîne et v celle sur le fil de trame (pour reprendre le vocabulaire employé en tissage)) est liée à la courbure K en (u,v). Dans notre exemple cette courbure n’est pas constante. Pour connaître cette loi il faudrait résoudre une équation aux dérivées partielles :
Résoudre ce genre d’équation n’est pas une mince affaire, c’est le moins que l’on puisse dire ! Notre tissu métallique l’a résolu en un instant … mais nous ne savons rien de la courbure. Si nous déformons notre surface sa courbure change et l’habillage l’accompagne. Nous avons obtenu un habillage pour une surface que nous ne connaissons pas *. Produire un habillage pour une surface donnée ou imposée nécessite de résoudre l’équation ci-dessus où K est alors imposé en chaque point (u,v), c’est incontournable. C’est cette équation qu’Étienne Ghys réussit à résoudre dans le cas d’une sphère qui a un courbure positive constante et qu’il prolongea dans le cas d’une surface à courbure négative constante, créant une nouvelle surface que nous avons nommé Torticolli. Ceci n’avait encore jamais été réglé pour la sphère entière. Tchebychev en avait bien fourni une solution mais n’avait pas réussi à habiller plus qu’une demie sphère … surtout qu’il s’agit de ne pas faire de pli !
Si nous savons résoudre cette équation notre exemple avec la toile ci-dessus suggère qu’alors on pourra définir le patron (comme en couture) de la pièce de tissu à découper pour venir habiller la surface.
Une remarque que vous pourriez nous adresser : Pourquoi y a-t-il une différence entre une feuille de papier et un morceau de tissu … objets mathématiques s’entendent. Nous traitons cette équation dans l’infinitésimal … continu donc « tout » se touche » (voir le mur et la clôture) et on réussirait à habiller avec un tissu sans faire de pli alors que c’est impossible avec une feuille de papier ! Pour notre part nous vous avions averti que nous restions discret et pensions en continu !
à suivre.
Notes :
* ceci nous fait songer à cette boutade : » J’ai des réponses … mais j’ignore les questions ? » qui inverse l’ordre habituel des choses. Ou bien : » J’ai des habits … mais je cherche les surfaces ! «
